duskflower
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Bei der Betrachtung von gebrochenrationalen Funktionen in der Form:
f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0}
ist für das Verhalten im Unendlichen nur höchstgradige Term des Zählers und des Nenners (mitsamt Koeffizienten) wichtig, also a_{n}x^n und b_{m}x^m.
[!INFO]- Erklärung Das liegt daran, dass im Unendlichen alles andere verschwindend klein wird und deshalb auch nicht beachtet werden darf. Das wird klar, wenn man lineare Steigung und exponentielle Steigung betrachtet:
f(x)=xwird schnell sehr viel kleiner alsf(x)=x^2, im Unendlichen verschwindend klein.
Es gibt bei der Betrachtung des Verhaltens in der Unendlichkeit vier verschiedene Fälle:
1. Fall: Nennergrad > Zählergrad
Wenn m>n ist, dann gilt
\lim_{ x \to \infty } f(x)=0
Das liegt daran, dass, wie oben erklärt, der Term mit dem kleineren Exponent (hier der Zähler) im Unendlichen verschwindend klein verglichen mit dem größeren Exponent wird. Auch der Koeffizient spielt im Unendlichen keine Rolle mehr.
2. Fall: Nennergrad = Zählergrad
Wenn m=n ist, dann gilt
\lim_{ x \to \infty } f(x)=\frac{a_{n}}{b_{m}}
Auch hier spielen nur die Terme mit den größten Exponenten eine Rolle, allerdings ist, wenn m=n ist
\frac{x^n}{x^m} = 1
Das heißt, dass nur die Koeffizienten, also a_{n} und b_{m}, hier eine Rolle spielen.
[!INFO]- Wieso nicht die anderen Terme? Weil es um einen Bruch geht. Die anderen Terme werden mit den höchstgradigen Termen des Zählers bzw. Nenners addiert, spielen aber im Unendlichen, was den Quotienten angeht, keine Rolle mehr, da sie so verschwindend klein sind. Was hingegen schon eine Rolle spielt, sind die Koeffizienten der höchstgradigen Terme, da sie die größten Zahlen noch einmal multiplizieren oder auch dividieren können.
3. Fall: Nennergrad = Zählergrad - 1
Wenn m=n-1 ist, dann gilt
\lim_{ x \to \pm \infty } f(x)=\pm \infty
wobei das Vorzeichen von den Koeffizienten a_{n} und b_{m} abhängig ist. Allerdings hat die Funktion eine schräge Asymptote D(x) (welche eine lineare Funktion ist), wobei D(x) das Ergebnis der Polynomdivision des Zählers durch den Nenner darstellt. Bei dieser Polynomdivision kann der letzte Bei dieser Polynomdivision kann aufgehört werden, wenn der Term des Dividends erreicht ist, bei dem der Grad kleiner ist als der des Divisors.
[!INFO]- Erläuterung (etwas fortgeschritten) Die Polynomdivision ist hier ziemlich ähnlich wie die normale Division. Teilt man
\frac{17}{5}, erhält man 3 und den Rest 2 (bei der Polynomdivision alsoD(x)und den RestR(x)). Das genaue Ergebnis der Rechnung ist aber3+\frac{2}{5}wobei der Rest (hier 2) natürlich immer kleiner als der Dividend (hier 5) ist, da das die Definition des Rests ist - der Rest ist ja der Definition nach der Teil, der übrig bleibt, weil er "zu klein zum Teilen" ist. Bei der Polynomdivision passiert das gleiche. WennP(x)der Zähler undQ(x)der Nenner ist, dann ist\frac{P(x)}{Q(x)}=D(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}D(x)ist das Ergebnis,R(x)der Rest, der erneut durch den Nenner / DivisorQ(x)geteilt werden muss. Bei der Polynomdivision kann dieser Rest sehr ausschlaggebend sein, z. B. wenn er\frac{1}{x-1}ist, denn wenn, z. B.,x=1,0000001ist, dann wird der Rest10.000.000. Allerdings geht es beim Verhalten im Unendlichen um eben das Unendliche. D. h., dass, wenn der Divisorgrad höher ist als der Dividendgrad und es gegen unendlich geht, das Ergebnis der Division im Prinzip gleich0wird, dax=\inftyist. Deswegen ist dieser Teil vernachlässigbar und man kann den letzten Teil bei Polynomdivision weglassen, also an diesem Punkt (Grad des Rest des Dividenden kleiner als Divisorgrad) aufhören.
Dabei entsteht eine lineare Funktion, die eine schräge Asymptote bildet, denn m=n-1, d. h.
\frac{x^n}{x^m}=x
Beispiel:
\frac{x^2}{x}=x
Die genaue Gleichung der Asymptotelässt sich durch die Polynomdivision herausfinden.
4. Fall Nennergrad < Zählergrad - 1
Wenn m<n-1 ist, dann gibt es keine Asymptote und
\lim_{ x \to \pm \infty } f(x)=\pm \infty
wobei das Vorzeichen abhängig von den Koeffizienten und geradem / ungeradem Exponent ist.
Beispiel:
f(x)=\frac{-x³+15x^2-3x+10}{-2x^2+20}
Hier gilt:
\lim_{ x \to -\infty }=\frac{-(-\infty)^3}{-2(\infty)^2}=-\infty
\lim_{ x \to +\infty }=\frac{-(+\infty)^3}{-2(+\infty)^2}=+\infty